• “”“稀疏默克尔树 — Sparse Merkle Tree with Inclusion/Exclusion Proofs
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• 第1层: 哈希工具 — SHA-256 包装 + 常量预计算
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• 第2层: 默认哈希预计算 — 任一深度的空子树根哈希 O(1) 查询
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• default_hashes[d] = 深度为 d 的完全空子树的根哈希（从该深度往下全空）
• 递推公式:
• default_hashes[256] = hash_leaf(EMPTY_KEY, b““) ← 最底层空叶子
• default_hashes[d] = hash_node(default_hashes[d+1], default_hashes[d+1])
• 约定: default_hashes[256] 是空叶子哈希，default_hashes[0] 是全空树根哈希。

§“”“
稀疏默克尔树 — Sparse Merkle Tree with Inclusion/Exclusion Proofs

【问题领域】密码学数据结构 · 可验证存储 · 区块链状态证明 · 证书透明化

【核心问题】
在不可信存储层之上构建“可验证性“：给定一个键值数据集，客户端只持有
根哈希（32字节），如何向客户端证明：
(a) “key X 的值为 V”（包含证明）
(b) “key X 不存在”（排除证明）
(c) “{key1: V1, key2: V2, …} 是完整且未被篡改的”（批量证明）

证明大小必须 O(log N)，验证时间 O(log N)，且根哈希 32 字节不变。

这是 Certificate Transparency、Ethereum 状态根、Git 对象存储、Amazon QLDB
等系统的基石数据结构。

【推理链 — 9步推导】

1. 问题形式化
   我们有一个不可信服务器存储全量数据，一个可信客户端仅持有 32 字节 root。
   服务器对客户端的查询回复 (value, proof)，客户端用 proof + root 验证
   value 的正确性。任何篡改都会导致验证失败。

   数学要求：存在函数 verify(root, key, value, proof) → {true, false}，
   使得：verify(root, key, real_value, gen_proof(tree, key)) = true，
   且对任意伪造的 value’ ≠ real_value，无法构造 proof’ 使验证通过
   （碰撞抵抗，由哈希函数保证）。

2. 经典 Merkle Tree 回顾
   叶子 = hash(data)，内部节点 = hash(left || right)。
   包含证明 = 从叶子到根路径上所有兄弟节点哈希。
   验证：从叶子出发逐层 hash，比对最终根哈希。

   问题：经典 Merkle 树不支持“不存在证明“。你怎么证明 key X 不在树里？
   你不能枚举所有叶子来证明缺失。

3. Sparse Merkle Tree 的核心洞见
   假设 key 空间固定为 256-bit（SHA-256），树有 256 层，每层对应 key 的
   一个 bit。每个可能的 key 都有一条唯一的 256 步路径。

   “不存在”证明：如果 key X 应该映射到路径 P，但路径 P 在树的某个位置
   指向了一个 EMPTY 节点，则证明路径 P 上所有兄弟 → 可证明 X 不存在。

   这和以太坊的 Patricia Merkle Trie 是一个思路，但更简单高效。

4. 空节点零知识优化
   256 层满二叉树有 2^256 个叶子，不可能实际存储。
   关键优化：空节点的哈希值是固定的（例如 hash(““)），且 hash(EMPTY || EMPTY)
   也是固定的。这意味着我们可以 O(1) 计算任意空子树根哈希，无需存储。

   预计算 default_hashes[256] 数组：
   default_hashes[0] = hash(b““)
   default_hashes[i] = hash(default_hashes[i-1] || default_hashes[i-1])

   路径上任意节点如果是默认值，直接引用 default_hashes[depth]。

5. 包含证明 (Inclusion Proof) 结构
   证明 = [(sibling_hash, direction), …]，共 256 个元素，
   但大部分 sibling 是默认值，可压缩为按需列表。

   压缩策略：只保留非默认兄弟 + 层号。验证时缺失层用 default_hashes 补。

6. 排除证明 (Non-Inclusion Proof) 结构
   与包含证明相同，但最后到达的是一个 EMPTY 节点。
   服务器沿 key 路径遍历，找到第一个指向叶子的层或默认节点的层。

   两种情况：
   (a) 路径中间指向 default_hashes[d] → 直接生成到此为止的 proof
   (b) 路径到达叶子但 key ≠ target → 返回叶子内容 + 路径证明，
   客户端验证叶子 key ≠ target key

7. 安全性分析

   • 碰撞抵抗：SHA-256 抗碰撞 → 无法伪造不同状态产生相同 root
   • 证明完整性：验证者重算路径哈希，与 root 比对，篡改立现
   • 信息泄露：证明仅暴露 O(log N) 个兄弟哈希，不暴露其余数据

   形式化安全归约：
   如果存在 PPT 敌手 A 能对 root R 生成 (key, value, proof) 且
   value ≠ 真实值但 verify(R, key, value, proof) = true，
   则可构造 B 用 A 破解 SHA-256 碰撞抵抗。

8. 批量证明优化
   当客户端请求多个 key 时，发送 N 个独立证明浪费带宽。
   批量证明：合并多条路径，共享前缀，输出一棵“证明子树“。

   构造算法：

   1. 收集所有 key 的路径
   2. 从根向下遍历，如果所有 key 共享同一分支→单路径；否则分叉
   3. 在分叉处输出两个子节点的哈希
   4. 验证者递归验证

9. 与类似结构的对比
   ┌────────────────┬──────────┬──────────┬──────────────┐
   │ 结构 │ 证明大小 │ 更新成本 │ 空节点优化 │
   ├────────────────┼──────────┼──────────┼──────────────┤
   │ Merkle Tree │ O(log N) │ O(log N) │ 不支持 │
   │ Sparse Merkle │ O(log N) │ O(log N) │ 原生支持 │
   │ Patricia Trie │ O(log N) │ O(log N) │ 需特殊处理 │
   │ Verkle Tree │ O(1) │ O(log N) │ 需KZG承诺 │
   │ IAVL Tree │ O(log N) │ O(log N) │ 不需要 │
   └────────────────┴──────────┴──────────┴──────────────┘

   选择 Sparse Merkle Tree 的理由：算法纯粹，无复杂密码学假设，
   仅依赖 SHA-256 碰撞抵抗，审计友好。

【实现概要】
本模块是 Sparse Merkle Tree 的教学级完整实现：
- SHA-256 哈希工具层
- 默认节点预计算缓存（256层）
- 树节点存储（仅存储非空叶子 + 修改过的内部节点）
- 包含证明生成与验证
- 排除证明生成与验证
- 批量证明生成与验证
- 树更新（插入/删除）与根哈希重算
- 完备的 if name == “main” 测试套件

【适用场景】

• 区块链轻客户端（验证交易包含性）
• 去中心化存储证明（Filecoin/IPFS验证数据存在）
• 证书透明化日志（Certificate Transparency）
• 可审计数据库（Amazon QLDB, Google Trillian）
• ZK-Rollup 状态承诺（配合 ZK-SNARK）
• 软件供应链完整性（类似 Go Checksum Database）

作者: Hermes Agent (Sparse Merkle Tree 安全推导)
日期: 2026-07-05
许可证: MIT
“”“

import hashlib
import struct
import random
import time
import json
from typing import Optional, List, Tuple, Dict, Set
from dataclasses import dataclass, field
from collections import defaultdict

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§第1层: 哈希工具 — SHA-256 包装 + 常量预计算

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KEY_BITS = 256 # 256-bit key space
EMPTY_HASH = hashlib.sha256(b““).digest() # hash(““) = sha256 of zero bytes
EMPTY_KEY = b“\x00“ * 32 # All-zero key represents empty/invalid

def sha256(data: bytes) -> bytes:
“”“SHA-256 哈希，返回32字节”““
return hashlib.sha256(data).digest()

def hash_node(left: bytes, right: bytes) -> bytes:
“”“哈希两个子节点：H(left || right)”““
return sha256(left + right)

def hash_leaf(key: bytes, value: bytes) -> bytes:
“”“哈希叶子节点：H(key || value)”““
return sha256(key + value)

def key_to_path(key: bytes) -> List[int]:
“”“将32字节 key 展开为 256 个 bit（0/1序列，MSB优先）”““
if len(key) != 32:
raise ValueError(f“Key must be 32 bytes, got {len(key)}“)
bits = []
for byte in key:
for shift in range(7, -1, -1):
bits.append((byte >> shift) & 1)
return bits

def path_to_key(bits: List[int]) -> bytes:
“”“将256个 bit 压缩回32字节 key”““
if len(bits) != 256:
raise ValueError(f“Path must have 256 bits, got {len(bits)}“)
result = bytearray(32)
for i in range(0, 256, 8):
byte_val = 0
for j in range(8):
byte_val = (byte_val << 1) | bits[i + j]
result[i // 8] = byte_val
return bytes(result)

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§第2层: 默认哈希预计算 — 任一深度的空子树根哈希 O(1) 查询

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§default_hashes[d] = 深度为 d 的完全空子树的根哈希（从该深度往下全空）

§递推公式:

§default_hashes[256] = hash_leaf(EMPTY_KEY, b““) ← 最底层空叶子

§default_hashes[d] = hash_node(default_hashes[d+1], default_hashes[d+1])

§约定: default_hashes[256] 是空叶子哈希，default_hashes[0] 是全空树根哈希。

def precompute_default_hashes() -> List[bytes]:
“”“预计算 0..256 层空子树的根哈希”““
h = [None] * (KEY_BITS + 1)
# 第 256 层：空

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